lecture-37可降阶方程与高阶线性微分方程

1.1 可降阶方程概念#

高阶方程降阶核心

核心：
- 大部分是不可以降阶的，在 1.2 小节当中的大部分只是理论上有解，但没有通用方法求解；
- 可以用通用方法降阶、求解的两种类型： $y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$ 和 $y"=f(y,y^{\prime})$
- 判断所属的可降阶类型，进行对应的代换，然后使用分离变量法；
注意：
- 求高阶微分方程定解时，每出来一个常数 C，就定一个常数；

常见可降阶形式

1. $y^{\prime\prime}=f(x)$ ；
- 举例： $y^{\prime\prime}=e^{x},\quad y^{\prime}=e^{x}+e_{1}\quad y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$
1. $y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$
- 方法：
  - 令： ${y^{\prime}=P,y^{\prime\prime}=\frac{dP}{dx}}$
  - 得到： $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$ 关于 p、x 的一阶方程，然后进行分离变量；
- 举例：
  - $\text{微分方程 }xy^{\prime\prime}+3y^{\prime}=0\text{ 的通解为}$
  - 没有直接出现 y，所以为第二种方法；
  - 得到： $y^{\prime}=p,y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx},x\frac{dp}{dx}+3p=0$ 此方程为一阶可分离方程；
1. $y"=f(y,y^{\prime})$
- 方法：
  - 设： $y^{\prime}=P$ 、 $y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dy}P$ ；
  - 变成只有 y、p，没有 x 的一阶方程，然后使用分离变量法；

1.2 高阶线性微分方程#

总结

高阶线性微分方程；
- 包括：
  - 高阶线性齐次微分方程；
  - 高阶线性非齐次微分方程；
- 特点：
  - 理论上有解，但是都没有通用的求解方法；
可以解的情况：
- 常系数齐次线性微分方程；

解的结构

二阶线性齐次微分方程：
- $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0$
二阶线性非齐次微分方程：
- $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x)$

定理： #二阶线性齐次微分方程的解#

描述：如果以 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的的特解，那么： $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的通解；

解释

独立微分方程的个数和阶数一致；

判断线性无关

如果 $\frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)}$ 不等于 C，则线性无关；

定理： #二阶线性非齐次微分方程的解#

描述：如果 $y^*$ 是二阶线性非齐次微分方程的一个特解， $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则： $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)$ 是非齐次微分方程的通解；

解释

$齐次通解+非齐次特解=非齐次通解$

定理： #非齐次微分方程与齐次微分方程的解#

描述：如果 $y^*_1(x)$ 和 $y^*_2(x)$ 是非齐次微分方程的两个特解，则 $y(x)=$ $y^*_1(x)$ + $y^*_2(x)$ 是齐次微分方程的解；

定理： #非齐次微分方程的解关于非齐次项的叠加性#

描述：如果 $y^*_1(x)$ 和 $y^*_2(x)$ 分别是方程 $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{1}(x)\quad\quad y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{2}(x)$ 的特解，则： $\dot{y_1}(x)+\dot{y_2}(x)$ 是方程 $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ 的一个特解；

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lecture-37可降阶方程与高阶线性微分方程

1.1 可降阶方程概念#

1.2 高阶线性微分方程#

定理： #二阶线性齐次微分方程的解#

定理： #二阶线性非齐次微分方程的解#

定理： #非齐次微分方程与齐次微分方程的解#

定理： #非齐次微分方程的解关于非齐次项的叠加性#

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