1. 复合平移 / 缩放型#

若 $g(x) = \big|f(ax+b)\big|$，且 $f$ 处处可导，则：

• 可导性只由外层 $|f(u)|$ 在 $u=ax+b$ 对应点的性质决定；

• 内层线性函数 $u=ax+b$ 处处可导，不会引入新的不可导点。

快速判断步骤：

1. 令内层 $u = ax+b$，找到待判断点 $x_0$ 对应的 $u_0 = ax_0+b$；

2. 用核心定理判断 $|f(u)|$ 在 $u_0$ 处的可导性，即为 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的可导性。

对应你这道题：$g(x)=|f(x-1)|$，判断 $x=1$ 时，对应 $u=0$；$f(0)=-1\neq0$，故 $|f(u)|$ 在 $u=0$ 可导，因此 $g(x)$ 在 $x=1$ 必可导。

2. 高频考点：不可导点计数问题#

题型：给定 $f(x)$ 为可导函数（通常是多项式），求 $|f(x)|$ 的不可导点个数。

秒杀结论：

1. $|f(x)|$ 的所有可疑不可导点，只能是 $f(x)=0$ 的零点（非零点处一定可导，直接排除）；

2. 对每个零点 $x_i$：

   • 若 $x_i$ 是单根（即 $f'(x_i) \neq 0$）：该点是不可导点；

   • 若 $x_i$ 是重根（即 $f'(x_i) = 0$）：该点仍是可导点，不计入不可导点。

经典例题：$f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3$，则 $|f(x)|$ 的不可导点只有 $x=1$ 这 1 个。

• $x=1$ 是单根，$f'(1)\neq0$ → 不可导；

• $x=2$ 是二重根，$f'(2)=0$ → 可导；

• $x=3$ 是三重根，$f'(3)=0$ → 可导。

3. 乘积型绝对值：$g(x)=|x-a| \cdot f(x)$#

这是最常考的变形之一，结论可以直接记： 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则 $g(x)=|x-a|f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充要条件是 $f(a)=0$。

推导：用左右导数定义验证，左导数 $=-f(a)$，右导数 $=f(a)$，左右相等当且仅当 $f(a)=0$。

扩展：$g(x)=(x-a)|x-a|$ 在 $x=a$ 处必可导（导数为 0），本质就是上面的结论，$f(x)=x-a$，$f(a)=0$。

4. 充要条件类判断题#

考试常考 “以下哪个是 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 可导的充要条件”，核心结论：

• 已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，且 $f(x_0)=0$，则 $|f(x)| \text{ 在 } x_0 \text{ 可导} \iff f'(x_0)=0$

• 已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，且 $f(x_0)\neq0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 一定可导（充分条件）。