Lecture 15：闭区间上连续函数的性质📅 2024-03-11#数学 15.1 基本概念#15.1.1 有界性#定理： #有界性#描述：若 若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。\text{若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。}若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。解释 在有限闭区间上的连续值一定有最大值和最小值； 15.1.2 最值与介值#定理： #最值定理#描述：若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上必有最大值和最小值；定理： #介值定理#描述：若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，且 f(a)≠f(b)f(a)\neq f(b)f(a)=f(b),则对 f(a)f(a)f(a) 与 f(b)f(b)f(b) 中 之间任一数C, 至少存在一个 ξ∈(a,b), 使得 f(ξ)=C.\text{之间任一数}\mathbf{C},\text{ 至少存在一个 }\xi\in(a,b),\text{ 使得 }f(\xi){=}C.之间任一数C, 至少存在一个 ξ∈(a,b), 使得 f(ξ)=C.15.1.3 零点#定理： #零点定理#描述：若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，且 f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0f(a)⋅f(b)<0 ,则必 ∃ξ∈(a,b)\exists\xi\in(a,b)∃ξ∈(a,b) 使得 f(ξ)=0.f(\xi)=0.f(ξ)=0.
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