Lecture 4：极限基础📅 2024-02-28#数学#极限 4.1 极限的基本概念# 主要是两种 数列极限； 函数极限； 4.1.1 数列极限#定义： #数列极限#描述：对 limn→∞xn=a\lim_{n\to\infty}x_n=alimn→∞xn=a 而言：∀ε>0,∃N>0, 当 n>N 时, 恒有 ∣xn−a∣<ε\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{ 当 }n>N\text{ 时, 恒有 }|x_n-a|<\varepsilon∀ε>0,∃N>0, 当 n>N 时, 恒有 ∣xn−a∣<ε解释 ε>0\varepsilon>0ε>0 ：函数的接近程度； 几何意义：xnx_nxn 在 ε\varepsilonε 前后的小领域内； N：大 N 项之后的所有数字，都落在了 ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon∣xn−a∣<ε 的范围内，而 N 是一个无穷多的项，N 之前的数字是一个有限项； 有限项总是有界的； 数列 {xn}\left\{x_n\right\}{xn} 的极限和前有限项无关； 概念：结论 1 limn→∞xn=a⇔limk→∞x2k−1=limk→∞x2k=a.\lim_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\lim_{k\to\infty}x_{2k-1}\overset{\color{red}{}}{\operatorname*{=}}\lim_{k\to\infty}x_{2k}=a.limn→∞xn=a⇔limk→∞x2k−1=limk→∞x2k=a. 如果一个数列以 a 为极限，则其子数列都以 a 为极限； 概念：结论 2 若 limn→∞xn=a,则limn→∞∣xn∣=∣a∣, 但反之不成立\text{若 }\lim_{n\to\infty}x_n=a,\text{则}\lim_{n\to\infty}\lvert x_n\rvert=\lvert a\rvert,\text{ 但反之不成立}若 limn→∞xn=a,则limn→∞∣xn∣=∣a∣, 但反之不成立 limn→∞xn=0 的充分必要条件是 limn→∞∣xn∣=0\lim_{n\to\infty}x_n=0\text{ 的充分必要条件是 }\lim_{n\to\infty}|x_n|=\mathbf{0}limn→∞xn=0 的充分必要条件是 limn→∞∣xn∣=0 概念：结论 3 一个数列的子数列如果满足以下两个条件，则可以推出完整数列的值： 子数列的值全部都相等； 几个子数列取遍了原数列的所有情况；
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