13.1.1 定义#

13.1.2 例题#

例题：$\text{设函数 }f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\text{,则 }f(x)$ 有？

• 分析
  • 1. 先找没有定义的点；
    • x=1
    • x=0
  • 2. 判断类型
    • 左右极限如果有区别，就分左右极限；
    • 左右极限如果没有区别，就不用分左右极限；
• 解析
  • 当 x=0 时，$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\ln|x|=\lim_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}=0$，所以为可去间断点；
  • 当 x=1 时，$\lim_{x\to1}f(x)=\sin|\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}$，因为 Inx ~ x-1，所以等价代换，所以得到极限当中的部分为 $\frac{x-1}{|x-1|}$，所以需要分为 x 趋向于 1 正和 1 负，所以为跳跃间断点；
• 题型： #间断点