（1）定义与充要条件#

函数 $f(x)$ 在 $x \to x_0$ 时极限存在的充要条件： 左极限与右极限都存在，且数值相等，即 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$

（2）极限存在的核心性质#

• 唯一性：极限若存在则结果唯一

• 局部有界性：若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界

  • 注意：仅在「去心邻域」有界，不包含 $x_0$ 点本身；且是「局部」有界，不代表全局有界

• 局部保号性：极限为正 / 负，则去心邻域内函数值保持正 / 负

（3）推导关系与易错点#

• 极限存在 $\nRightarrow$ 函数在该点有定义（极限仅关心去心邻域的趋势）

• 极限存在 $\nRightarrow$ 函数在该点连续（连续额外要求极限值 = 函数值）

• 极限存在 $\nRightarrow$ 可导（连连续都不满足，必然无法推出可导）

• 函数有界 $\nRightarrow$ 极限存在（如 $\sin(1/x)$ 在 $x\to0$ 时有界但极限不存在）

（4）经典反例#

$f(x)=\sin\frac{1}{x}$，$x\to0$ 时函数始终有界，但因振荡无确定趋势，极限不存在。

（1）定义与充要条件#

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，必须同时满足三个条件：

1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义；

2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在；

3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

连续的充要条件：左连续 = 右连续，即 $f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0)$

（2）推导关系#

• 连续 $\implies$ 极限存在（且极限值等于函数值）

• 极限存在 $\nRightarrow$ 连续（可去间断点是典型反例）

• 连续 $\nRightarrow$ 可导

• 可导 $\implies$ 连续

（3）间断点分类（与极限存在直接绑定）#

（4）考点延伸#

闭区间上的连续函数必然满足：有界性、最值定理、介值定理、零点定理。

（1）定义与充要条件#

$f(x)$ 在 $x_0$ 处导数定义： $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

导数存在的充要条件：左导数 = 右导数，即 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$

⚠️ 高频易错点：左右导数 ≠ 导数的左右极限

• 左导数 $f'_-(x_0)$：用导数定义求左侧极限，必须用到 $f(x_0)$ 的函数值

• 导数的左极限 $\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$：导函数在左侧邻域的极限，不依赖 $f(x_0)$ 两者无必然联系：导数存在时，导函数的极限不一定存在；导函数极限存在时，该点导数也不一定存在。

（2）核心推导关系#

• 可导 $\implies$ 连续 $\implies$ 极限存在（反向均不成立）

• 一元函数专属结论：可导 $\iff$ 可微（多元函数中该等价关系不成立，是高频挖坑点）

（3）深度扩展（考研选择题核心考点）#

1. 可导 ≠ 导函数连续 可导只能推出原函数连续，完全推不出导函数自身连续。 经典反例：

2. 达布定理（导数介值定理） 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，则 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上可取到 $f'(a)$ 与 $f'(b)$ 之间的一切值。 核心推论：可导函数的导函数不会有第一类间断点，导函数要么连续，要么只存在第二类间断点。

3. 高阶导数的存在性与洛必达使用边界 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则：

   • $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内具有所有低于 $n$ 阶的导数；

   • $n-1$ 阶导数在 $x_0$ 处连续；

   • $n$** 阶导数本身不一定连续**。

   ⚠️ 考研易错点：题目给出「$n$ 阶可导」时，洛必达法则最多用到 $n-1$ 阶导数，最后一步必须用导数定义求解，不能直接对 $n$ 阶导数取极限。

（4）经典反例#

$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处：连续、极限存在，但左导数为 $-1$、右导数为 $1$，二者不相等，故导数不存在。

（1）定义#

若函数增量 $\Delta y$ 可拆分为： $\Delta y = A\cdot\Delta x + o(\Delta x)$ 其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，$o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，微分 $\mathrm{d}y = A\cdot\Delta x$。

（2）一元函数核心结论#

可微 $\iff$ 可导，且系数 $A = f'(x_0)$，即 $\mathrm{d}y = f'(x_0)\mathrm{d}x$。 该等价关系仅在一元函数中成立，多元函数中完全不成立，是概念题的核心区分点。

（3）推导关系#

• 可微 $\implies$ 连续 $\implies$ 极限存在

• 可微 $\iff$ 可导（一元场景）