11.1 无穷小量阶比较例题#

例题：$\text{当 }x\to0\text{ 时},\alpha(x)=kx^2\text{与}\beta(x)=\sqrt{1+x\arcsin x}-\sqrt{\cos x}\text{ 是等价无穷小,则 }k=\_\_\_\_\_\_.$

• 分析
  • 因为是等价无穷小，所以之比是 1；
  • 碰到根式差，所以可以考虑用分子有理化、等价代换方法；
  • $=\frac1k\lim_{x\to0}\frac{1+x\arcsin x-\cos x}{x^2[\sqrt{1+x\arcsin x}+\sqrt{\cos x}]}$（有理化）
  • $=\frac1{2k}\lim_{x\to0}\frac{1+x\arcsin x-\cos x}{x^2}$
  • 然后拆分，提出；
• 解析
• 题型： #无穷小

两个等价无穷小的更通用形式

• $\log^{a}(1+2x)\sim(2x)^{a}=2^{a}x^{a}$
• $(1-ax)^{\frac{1}{\alpha}}\sim(\frac{1}{2}x^{2})^{\frac{1}{\alpha}}$

无穷小阶数排序问题

• 方法一：两两比较；
• 方法二：对每一个进行定阶数；
  • 比如：$\alpha_1=x(\cos\sqrt{x}-1),\alpha_2=\sqrt{x}\ln(1+\sqrt[3]{x}),\alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1.$ 当 $x\to0^+$ 时，以上 3 个无穷小量从低阶到高阶的排序是；
  • 可以对 a 1 a 2 a 3 分别定阶数，然后排序；